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2. Elements
3. Markdown Style test

在中学课本，最小二乘通常作为寻找一条直线以最好地拟合若干采样点这类问题的解决方案出现。在Strang的书中，这一问题同样被用作重要的例子，但是书中也提供了更一般的抽象：对于关于$$\mathbf{x}$$的方程$$\mathbf{Ax = b =d =c=e=e=r=f=d=d=d=e=w=d=e=f=w=f=d}$$而言，由于种种原因，如有效方程数大于变元个数，我们无法得到完美的解。因此，我们转而允许引入一定的误差，寻求相对最优的解，使得误差最小。在这一情形下，我们用误差的范数$$\Vert\mathbf{Ax - b}\Vert$$来衡量误差大小。举一例来自原书的拟合直线问题。

问题：找到一条直线 $$y = c_0 + c_1x$$​，使之距离点 $(0, 6)$​， $(1, 0) $ ​和 $ (2, 0)$​最近。

分析：假定我们希望找到一条完美的直线，那么将数据代入直线方程，我们得到
$$
\begin{align}
6 & = c_0 + 0\cdot c_1 \
0 & = c_0 + 1\cdot c_1 \
0 & = c_0 + 2\cdot c_1
\end{align}
$$

写成矩阵和向量的形式，我们同样能得到 $$ \mathbf{Ax = b} $$ ​的形式，其中

$$
H_{i}^{*}=\frac{G_{i}}{F_{i}} \tag{2-4}
$$

上面已经提到，解 可以不是完美的，我们只需要找到最好的、使得误差最小的解。

$$
\begin{equation}
\left[\begin{array}{c}
x_{11}(w_1,w_2)\
x_{12}(w_1,w_2)\
x_{21}(w_1,w_2)\
x_{22}(w_1,w_2)
\end{array}\right]
\end{equation}
$$

mathjax

$$ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} $$

$$
\begin{align}
\Vert\mathbf{Ax’ - b}\Vert & = \Vert\mathbf{A(x’ - x) - e}\Vert \
& = \Vert\mathbf{A(x’ - x)}\Vert - 2\mathbf{(x’ - x)}^{\rm T}\mathbf{A}^{\rm T}\mathbf{e} +
\Vert\mathbf{e}\Vert \
& = \Vert\mathbf{A(x’ - x)}\Vert + \Vert\mathbf{e}\Vert \ge \Vert\mathbf{e}\Vert
\end{align}
$$

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   • 地方都是大家及时解决

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     • 的方法解决灯红酒绿
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  graph LR
    A --- B 
    B-->C[fa:fa-ban forbidden] 
    B-->D(fa:fa-spinner);
  

  pie
    title Key elements in Product X
    "Calcium" : 42.96
    "Potassium" : 50.05
    "Magnesium" : 10.01
    "Iron" :  5
  

  gantt
       dateFormat                YYYY-MM-DD
       title                     Adding GANTT diagram functionality to mermaid
       excludes                  :excludes the named dates/days from being included in a charted task..
       section A section
       Completed task            :done,    des1, 2014-01-06,2014-01-08
       Active task               :active,  des2, 2014-01-09, 3d
       Future task               :         des3, after des2, 5d
       Future task2              :         des4, after des3, 5d

       section Critical tasks
       Completed task in the critical line :crit, done, 2014-01-06,24h
       Implement parser and jison          :crit, done, after des1, 2d
       Create tests for parser             :crit, active, 3d
       Future task in critical line        :crit, 5d
       Create tests for renderer           :2d
       Add to mermaid                      :1d

       section Documentation
       Describe gantt syntax               :active, a1, after des1, 3d
       Add gantt diagram to demo page      :after a1  , 20h
       Add another diagram to demo page    :doc1, after a1  , 48h

       section Last section
       Describe gantt syntax               :after doc1, 3d
       Add gantt diagram to demo page      :20h
       Add another diagram to demo page    :48h
  

  gantt
       dateFormat                YYYY-MM-DD
       title                     Adding GANTT diagram functionality to mermaid
       excludes                  :excludes the named dates/days from being included in a charted task..
       section A section
       Completed task            :done,    des1, 2014-01-06,2014-01-08
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       Future task               :         des3, after des2, 5d
       Future task2              :         des4, after des3, 5d

   section Critical tasks
   Completed task in the critical line :crit, done, 2014-01-06,24h
   Implement parser and jison          :crit, done, after des1, 2d
   Create tests for parser             :crit, active, 3d
   Future task in critical line        :crit, 5d
   Create tests for renderer           :2d
   Add to mermaid                      :1d

   section Documentation
   Describe gantt syntax               :active, a1, after des1, 3d
   Add gantt diagram to demo page      :after a1  , 20h
   Add another diagram to demo page    :doc1, after a1  , 48h

   section Last section
   Describe gantt syntax               :after doc1, 3d
   Add gantt diagram to demo page      :20h
   Add another diagram to demo page    :48h

  

  pie
    title Key elements in Product X
    "Calcium" : 42.96
    "Potassium" : 50.05
    "Magnesium" : 10.01
    "Iron" :  5
  

  pie
    title Key elements in Product X
    "Calcium" : 42.96
    "Potassium" : 50.05
    "Magnesium" : 10.01
    "Iron" :  5
  

$$
\begin{align}
6 & = c_0 + 0\cdot c_1 \
0 & = c_0 + 1\cdot c_1 \
0 & = c_0 + 2\cdot c_1
\end{align}
$$

写成矩阵和向量的形式，我们同样能得到 $$ \mathbf{Ax = b} $$ ​的形式，其中

• jdjjjddd

  $$
  H_{i}^{*}=\frac{G_{i}}{F_{i}} \tag{2-4}
  $$

• hjdhhdfhf